丹娜小聲說道，倘若以萊納得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的軌跡方程，她在今天之前，從來沒有意識到數學竟然有這種奇妙的力量。
克萊爾陷入沉思，她想了想，才舉起手，提問道。
“可這只能解釋拋物線的軌跡，法術模型里還有更多更復雜的曲線，比如橢圓和雙曲線，這些該怎么辦？”
“這就是問題所在。”
萊納微微一笑，接著在黑板上畫出一個橢圓，建立極坐標，開始推演。
“橢圓的定義是平面上到兩個定點的距離等于一個常數，并且大于兩個定點之間距離的點的集合，同樣存在著準線與焦點，定義可以轉化為平面上到定點的距離與到準線的距離的比值為常數的點的集合，以同拋物線類似的方法帶入......”
萊納的板書很規整，簡單明了，丹娜也能迅速理解。
最終，橢圓在引入極坐標之后得到了一個公式r=E/（1-e*cosθ），E=b^2/a，e=c/a，a是橢圓的長軸的一般，而b則是短軸的一半，而c則是兩個焦點之間的距離。
“這兩個公式，很像。”
丹娜意識到了一些問題，但卻沒辦法得出結論。
沒有等待她們仔細思考，萊納又開始推導雙曲線的極坐標方程。
雙曲線是到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數，且小于兩個點之間距離的點的集合，萊納已經推導了拋物線和橢圓的極坐標方程，因此很快就得到了雙曲線的極坐標方程。
r=E/（1-e*cosθ）。
這三個方程的形式驚人地一致，讓克萊爾與丹娜驚訝得說不出話。
“實際上，我們可以假設拋物線也存在一個e，只不過這個e的值是1，而焦點與長短軸的長度也能統一，這樣來看，橢圓，雙曲線，拋物線實際上可以用同一個極坐標方程表示，而決定它們不同的便是這個e，我定義其為離心率。”
看著黑板上三個迥然不同的曲線與一大串推導公式，萊納說道。
“當離心率小于1，那么便是雙曲線，當離心率大于1，則是橢圓，而當離心率等于1，便是拋物線，當離心率等于0，那么這便是一個正圓。”
他的結論看似難以接受，但一步步的推導過程卻又是如此明晰，克萊爾與丹娜挑不出任何毛病。
“由此，我們可以證明這幾種曲線其實是同一種曲線在不同情況下的變化，同時給這幾種曲線下一個更加精簡且統一的定義：平面上，與一個定點的距離與一條定直線的距離的比值為常數的點的集合，這個常數便是離心率e！”
放下粉筆，萊納輕聲說道。
“證明完畢。”